Bases de Groebner.

Abstract

Neste trabalho apresentamos uma introdução à teoria das Bases de Groebner e como motivador, sua aplicação mais natural: o problema da pertinência de um polinômio a um ideal polinomial. Para isso, preparamos no texto a estrutura algébrica de anéis e de ideais, dando enfoque em conjuntos geradores para ideais e apresentando a definição de anéis Noetherianos. Em continuidade falamos dos anéis polinomiais em uma indeterminada para então estabelecer, via uma relação recorrência natural, os anéis de polinômios em um número finito de indeterminadas no qual exibimos o conceito de ordens monomiais, e ainda, no estudo de polinômios destacamos os algoritmos das divisões polinomiais em cada caso, visando algoritmos para obtenção dos quocientes e restos. Por fim estabelecemos a definição de Base de Groebner para um ideal polinomial, enunciamos e demonstramos um teste para a verificação de que um dado conjunto gerador é ou não Base de Groebner, o chamado Critério de Buchberger, e para quando o conjunto gerador não for uma Base de Groebner, exibimos e demonstramos um algoritmo que nos fornece uma tal base, o Algoritmo de Buchberger. Abordamos também importantes resultados que são essenciais para as referidas demonstrações, o Teorema da Base de Hilbert e o Lema de Dickson. Por fim, deixamos claro como é utilizado uma Base de Groebner para a resolução do problema da pertinência.