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Título: Um estudo sobre o Teorema de Existência e Unicidade.
Autor(es): Gomides, Amanda Figueiredo
Orientador(es): Ferreira, Geraldo César Gonçalves
Martins, Eder Marinho
Membros da banca: Ferreira, Geraldo César Gonçalves
Martins, Eder Marinho
Couto, Rodrigo Geraldo do
Palavras-chave: Equações diferenciais ordinárias
Teorema de Existência e Unicidade
Teorema do Ponto Fixo de Banach
Operador de Picard
Data do documento: 2025
Referência: GOMIDES, Amanda Figueiredo. Um estudo sobre o Teorema de Existência e Unicidade. 2025. 43 f. Monografia (Graduação em Matemática - Bacharelado) - Instituto de Ciências Exatas e Biológicas, Universidade Federal de Ouro Preto, Ouro Preto, 2025.
Resumo: Nesta monografia estudamos as Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) reais de ordem d, fornecendo uma visão geral que engloba definições, exemplos práticos, redução de ordem e os principais resultados sobre existência e unicidade de soluções. São apresentados exemplos como a Lei de Resfriamento de Newton e o Sistema Massa-Mola, que evidenciam a relevância das EDOs para modelar fenômenos reais. Em seguida, aprofunda-se o estudo do Teorema de Existência e Unicidade, evidenciando os requisitos necessários para a solução de uma EDO existir e ser única. O Teorema do Ponto Fixo de Banach e o Operador de Picard são ferramentas-chave nesse processo, permitindo garantir, de maneira rigorosa, a fundamentação teórica do resultado. Na parte final, a monografia traz um refinamento ao Teorema de Existência e Unicidade, removendo uma das condições inicialmente impostas no intervalo de existência, mas mantendo duas restrições essenciais para assegurar a unicidade e a existência da solução.
Resumo em outra língua: This monograph studies Ordinary Differential Equations (ODEs) of order d, providing a comprehensive overview that includes definitions, practical examples, order reduction, and the main results on the existence and uniqueness of solutions. Examples such as Newton's Law of Cooling and the Mass-Spring System are presented, highlighting the relevance of ODEs in modeling real-world phenomena. Next, the study delves deeper into the Existence and Uniqueness Theorem, emphasizing the necessary conditions for an ODE to have a unique solution. Banach’s Fixed Point Theorem and the Picard Operator are key tools in this process, ensuring a rigorous theoretical foundation for the result. In the final part, the monograph refines the Existence and Uniqueness Theorem by removing one of the initially imposed conditions on the existence interval while maintaining two essential restrictions to guarantee the uniqueness and existence of the solution.
URI: http://www.monografias.ufop.br/handle/35400000/7922
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