Alguns resultados recentes sobre pontos fixos em contrações fracas.

Abstract

Existem diversas aplicações para a Teoria de Ponto Fixo, a qual, de maneira geral, envolve a garantia de solução de algum problema e, em alguns casos, sua unicidade. Desta teoria, serão apresentados resultados clássicos que podem ser vistos durante os cursos de graduação, como o Teorema do Ponto Fixo de Brouwer, em um contexto de Análise Real, e o Teorema do Ponto Fixo de Banach, em um contexto de Topologia de Espaços Métricos. Este segundo teorema tem como uma de suas hipóteses que a função envolvida seja uma contração. Porém, este resultado não se aplica no caso de contrações fracas. A partir disso, apresentaremos resultados que foram estudados a partir dos trabalhos de E. Rakotch, de D. W. Boyd e J. S. Wong e Vittorino Pata , sendo o mais antigo deles publicado na segunda metade do século passado, ou seja, são resultados relativamente recentes. Um dos principais objetivos deste trabalho foi analisar os avanços que cada um desses trabalhos alcançou em relação ao anterior, considerando a ordem cronológica dos resultados. Também apresentaremos alguns exemplos que mostram os avanços alcançados em cada trabalho e terminaremos mostrando resultados de equivalência entre as diversas noções de contração fraca apresentada, desde que sejam considerados espaços métricos compactos.