Enfraquecendo a hipótese de contração do Teorema do Ponto Fixo de Banach.

Abstract

A Teoria dos Pontos Fixos é uma importante ferramenta matemática com diversas aplicações como a de obtenção da existência de soluções de equações diferenciais. Este trabalho começou pelo estudo do clássico Teorema do Ponto Fixo de Banach que garante a existência e unicidade de ponto fixo para funções que, dentre outras hipóteses, sejam contrações. O principal objetivo desse trabalho foi o estudo de resultados de existência e unicidade de ponto fixo nos quais as funções envolvidas sejam contrações fracas, ao invés de contrações. Dessa forma, foram estudados o Teorema do Ponto Fixo de Boyd-Wong, outro resultado renomado, e o Teorema do Ponto Fixo de Vittorino Pata, obtido em 2011. Os Teoremas de Banach, Boyd-Wong e Vittorino Pata foram comparados entre si e foi apresentado um exemplo no qual exibiu-se uma função que satisfaz as condições do Teorema de Boyd-Wong e não satisfaz as hipóteses do Teorema de Banach. Além disso, provou-se que, em Espaços Métricos limitados, os Teoremas de Boyd-Wong e Vittorino Pata são equivalentes, bem como apresentou-se um exemplo de uma função definida em um espaço ilimitado no qual são satisfeitas somente as condições de Vittorino Pata, mas os Teoremas do Ponto Fixo de Banach e Boyd-Wong não são aplicáveis.